Родился в имении М. Е. Салтыкова в Тверской губернии, где его отец служил земским врачом. В 1891 г. окончил Московскую 1-ю классическую гимназию и поступил на физико-математический факультет Московского университета по отделению естественных наук. В 1895 году Флёров Александр Федорович окончил Московский университет с дипломом 1-й степени, выполнив дипломную работу на тему «О зависимости роста растений от кислорода», и был оставлен при кафедре физиологии растений для подготовки к профессорскому званию.
По рекомендации К. А. Тимирязева, учеником которого был Флёров Александр Федорович, он был приглашён на должность ассистента в Варшавский политехнический институт, где кафедрой ботаники заведовал В. И. Палладин. В должности ассистента А.Ф. проработал с 1899 по 1901 г.; в это же время читал курс технической микробиологии в Варшавском университете и вёл занятия по анатомии растений. 1902 по 1905 годах работал в качестве приват-доцента Московского университета, где читал курс общей микробиологии и курс географии растений.
10 мая 1902 г. А.Ф. защитил в Юрьевском (ныне Тартуский, Эстония) университете диссертацию «Флора Владимирской губернии» на степень магистра ботаники, причём проф. Н.И. Кузнецов возбудил ходатайство перед Советом Юрьевского университета о присвоении магистру А.Ф. Флёрову степени доктора ботаники вследствие выдающихся достоинств работы. Кроме того, за диссертацию А.Ф. получил полную премию имени А.Г. Фишера фон Вальдгейма. С этого времени начинается широкая научная деятельность А.Ф. по изучению флоры, растительности и болот России, которая завершилась появлением ряда его крупных ботанико-географических работ, имеющих и поныне большую научную ценность. С 1905 г. А.Ф. перешёл в Санкт-Петербургский ботанический сад на должность консерватора Гербария.
С 1908 по 1910 г. А.Ф. взял на себя обязанности по руководству всеми ботаническими экспедициями Переселенческого управления и редактирование трудов (до 1911 г.) этих экспедиций. В 1909 г. лично возглавил экспедицию в Забайкальскую и Иркутскую области.
В 1911 году Александр Федорович был назначен директором первой в России Минской болотной опытной станции, развившейся впоследствии в Белорусский институт болотного хозяйства.
В 1913 году Александр Федорович был приглашён на должность профессора в Донской политехнический институт по кафедре ботаники. В этот период начинается его большая работа по изучению растительности Северного Кавказа, Дагестана, Прикаспия, Черноморского побережья. С 1928 до 1937 г. А.Ф. проводил работы по изучению растительности Колхидской низменности и её происхождения. С 1935 до 1944 г. заведовал кафедрой анатомии и физиологии в Ростовском-на-Дону университете, а несколько позднее стал руководить отделом физиологии растений в Научно-исследовательском биологическом институте.
Флёров Александр Федорович в течение 55 лет плодотворно занимался преподавательской деятельностью; он автор и редактор более чем 300 публикаций. Гербарные материалы, собранные в экспедициях Переселенческого управления, хранятся в Гербарии БИН РАН.
В фотоархиве Ботанического Музея хранятся фотографии и негативы А.Ф. Флерова экспедиций Переселенческого управления.