Родился в Санкт-Петербурге. Учился сначала в 1-й Петербургской, а потом в Ковенской гимназии, которую окончил в 1900 г. В том же году поступил на естественное отделение физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета. С 3-го курса избрал своей специальностью ботанику и работал под руководством проф. Х.Я. Гоби. В 1905 г. поступил на службу в Петербургский ботанический сад в качестве нештатного помощника консерватора.

В 1908 г. Б. Н. перешел в Главное переселенческое управление и принял участие в следующих экспедициях:

1908 — Горный Алтай, бассейн р. Лебедь;

1909 — Кузнецкий уезд Томской губернии;

1910 — Нарымский край, басс. р. Кети, Обь-Енисейский канал;

1911–1914 — Нарымский край и северная Бараба (Томская губерния).

С 1915 по 1932 г. Б.Н. работал по болотоведению в Минске, по торфяному делу на Украине, был председателем комиссии по изучению природных богатств Украины при АН УССР, занимался преподавательской деятельностью в различных учебных заведениях Украины и в Ленинграде.

С 1932 г. до конца жизни Б. Н. Клопотов работал в БИН АН СССР, сначала в отделе систематики, а с 1934 г. — в организованном им отделе растительного сырья, которым он заведовал.

Во время Великой Отечественной войны, находясь в осаждённом Ленинграде, Б.Н. целиком отдаётся работе по организации сбора сфагнового мха (как антисептика) для нужд госпиталей. Б.Н. умер в блокадном Ленинграде 27 января 1942 году. Похоронен в братской могиле на Серафимовском кладбище.

Б. Н. был широко эрудированным человеком. Работая в Переселенческом управлении, он собрал прекрасные коллекции музыкальных инструментов, амулетов, детских игрушек, предметов быта живших в Сибири остяков-самоедов и передал их в Этнографический отдел Русского музея, за что ему была объявлена благодарность и вручена серебряная медаль. Его коллекция экслибрисов и издательских знаков хранится в Российской национальной библиотеке им. М.Е. Салтыкова-Щедрина. Б.Н. являлся признанным знатоком творчества русского художника П.А. Федотова, отыскал ряд его неизвестных картин и написал о нём подробное исследование, изданное посмертно.

Гербарные сборы Б.Н. Клопотова хранятся в БИН РАН. В фотоархиве Ботанического Музея хранятся фотографии и негативы Б.Н. Клопотова, сделанные им во время экспедиций Переселенческого управления в Сибирь.